Мерењем се дужима додељују бројеви који описују однос дужи са унапред изабраном и фиксираном дужи. Унапред изабрана дуж се назива јединица мере. Поступак мерења се заснива на надовезивању подударних дужи. Међутим, надовезивањем дужи које су подударне јединици мере можемо да измеримо само целобројне дужине.

Архимедова аксиома

Нека је [latex]IJ[/latex] произвољна дуж. Тада за сваку дуж [latex]AB[/latex] на полуправој чији је почетак тачка [latex]A[/latex] и која садржи [latex]B[/latex] постоји коначно много тачака [latex]A_1,A_2,A_3,...,A_n[/latex] таквих да је [latex]A–A_1–A_2–...–A_n,AA_1\cong A_1A_2\cong ...\cong A_{n–1}A_n\cong IJ[/latex] и [latex]A–B–A_n[/latex].

 

Да бисмо решили поменуте проблеме, природно је да поделимо јединицу мере на једнаке делове и покушамо да измеримо дужину дужи надовезивањем дужи које су подударне добијеном делу. Будући да је систем који користимо декадни, уобичајено је да се јединица мере дели на десет делова. Очигледно ни десетим деловима јединице мере нећемо успети да измеримо дужине свих дужи. Следећи корак је употребити стоте делове јединице мере.

Наравно, опет ће постојати „немерљиве дужи”. Да закључимо: ако желимо да измеримо дужине свих дужи, поступак дељења јединице мере не смемо завршити. Ма колико „ситни” били делови на које смо у неком тренутку изделили јединичну дуж, постојаће нека дуж чију дужину нећемо моћи прецизно да измеримо.

Најпознатија дуж чије се мерење не завршава је дијагонала јединичног квадрата. Да се поступак мерења дијагонале не може окончати, не треба да чуди јер не постоји рационалан број чији је квадрат једнак 2.

Погледајте слику десно и табелу приказану на наредном слајду.

Ако је [latex]AB[/latex] дуж чију дужину одређујемо преношењем јединичне дужи [latex]IJ[/latex] и њених (десетих, стотих, хиљадитих...) делова, наступа један од следећа два случаја:

1. поступак се завршава и одредили смо прецизно дужину дужи [latex]AB[/latex] (мерни број је децималан број са коначно много децимала);
2. поступак се не завршава већ у сваком кораку мерења добијамо нове тачке (лево и десно од [latex]B[/latex]), означимо их са [latex]L_1,L_2,L_3,...[/latex] и [latex]D_1,D_2,D_3,...[/latex] такве да је [latex]L_1–B–D_1,L_2–B–D_2,L_3–B–D_3,...[/latex] У овом случају је и [latex]AL_1<AB<AD_1,AL_2<AB<AD_2[/latex] итд.

• Једина заједничка тачка свих дужи [latex]L_1D_1,L_2D_2,L_3D_3,...[/latex] (које добијамо током мерења) јесте тачка [latex]B[/latex]. Грубо речено, ако замислимо да смо спровели бесконачно много корака, онда је [latex]B[/latex] једина тачка која је „обухваћена” наведеним дужима.

• Парови рационалних бројева [latex]|AL_1|\space и\space |AD_1|,|AL_2|\space и\space |AD_2|,|AL_3|\space и\space |AD_3|,...[/latex] све се мање разликују, то јест разлике ових парова су све ближе нули.

• Бројеви [latex]|AL_1|,|AL_2|,|AL_3|,...\space и\space |AD_1|,|AD_2|,|AD_3|,...[/latex] све су ближи јединственом реалном броју (који узимамо за дужину дужи [latex]AB[/latex]).

Лењир са подеоцима одговара цртежу бројевне полуправе на папиру, при чему цртеж бројевне полуправе посматрамо као графички приказ скупа реалних бројева. Сходно томе, лењир са подеоцима сматрамо моделом скупа [latex]\R [/latex]. Постављање ивице лењира са подеоцима дуж неке праве можемо посматрати као успостављање бијекције између тачака те праве и реалних бројева:

• свакој тачки [latex]A[/latex] праве придружује се јединствени реалан број [latex]x_А[/latex], и

• сваки реалан број придружен је јединственој тачки праве.

За било које две различите тачке [latex]A\; и\; B[/latex] важи следеће важно својство. Како год да поставимо лењир са подеоцима дуж праве [latex]AB[/latex] (и тиме тачкама [latex]A\; и\; B[/latex] доделимо редом бројеве [latex]x_А[/latex] и [latex]x_B[/latex]), вредност [latex]|x_A–x_B|[/latex] је увек иста. Ову сталну вредност називамо дужином дужи [latex]AB[/latex] или (еуклидским) растојањем између тачака [latex]A\; и\; B[/latex] и обележавамо је [latex]|AB|[/latex]. На слици лево уочавамо:

[latex]|AB|=|x_B–x_A|=|5,9–3,5|=|6,4–4|=|–1–(–3,4)|=2,4[/latex].

Корисно је имати на уму да се приликом постављања лењира дуж неке праве [latex]p[/latex] одређују тачке [latex]O\; и\; J[/latex], такве да је [latex]OJ[/latex] подударна јединици мере лењира, којима се придружују редом бројеви [latex]0\; и\; 1[/latex].

Свака дуж [latex]IJ[/latex] изабрана за јединицу мере одређује одговарајући лењир, а самим тим и мерење дужине било које дужи.

Oсновнa теоремa у вези са мерењем дужине

Избор било које дужи [latex]IJ[/latex] (за јединицу мере) одређује функцију којом се свакој дужи [latex]XY[/latex] придружује позитиван реалан број [latex]|XY|[/latex], тако да важе следеће особине:

• [latex]|IJ|=1[/latex];

• [latex]AB\cong CD[/latex] акко [latex]|AB|=|CD|[/latex], за било које дужи [latex]AB\; и\; CD[/latex];

• [latex]AB<CD[/latex] акко [latex]|AB|<|CD|[/latex], за било које дужи [latex]AB\; и\; CD[/latex];

• [latex]A–B–C[/latex] акко [latex]|AB|+|BC|=|AC|[/latex], за било које тачке [latex]A,B\; и\; C[/latex];

• [latex]|AC|<|AB|+|BC|[/latex], за било које три неколинеарне тачке [latex]A,B\; и\; C[/latex].

 

Нека је [latex]A[/latex] тачка која не припада правој [latex]p\; и\; N[/latex] подножје нормале из [latex]A\; на\; p[/latex]. Растојање између тачке [latex]A[/latex] и праве [latex]p[/latex] јесте дужина дужи [latex]AN[/latex]. Будући да је хипотенуза најдужа страница правоуглог троугла, једноставно закључујемо да је тачка [latex]N[/latex] заправо тачка праве [latex]p[/latex] која је најближа тачки [latex]A[/latex]. Другим речима, за било коју другу тачку [latex]P[/latex] праве [latex]p[/latex] важи [latex]AN<AP[/latex].

 Ако су праве [latex]p\; и\; q[/latex] паралелне, тада су све тачке једне праве једнако удаљене од друге праве. (Зашто?) Под растојањем између две паралелне праве подразумева се растојање између било које тачке једне праве од друге праве.

Од давнина се за мерење углова као јединица мере користи степен, тј. угао који је [latex]180[/latex] пута мањи од опруженог угла (односно [latex]90[/latex] пута мањи од правог угла). Најважније идеје у вези са мерењем углова објаснићемо ослањајући се на познати мерни инструмент – угломер. Иако је угломер најчешће у облику полукруга, објашњења су једноставнија за кружне угломере. Подразумева се да су на ободу кружног угломера подеоцима означени углови од једног степена. Да бисмо додатно поједноставили објашњења, претпоставићемо да су углови усмерени у позитивном смеру (тј. супротно кретању казаљке на сату). Дакле, [latex]aOb[/latex] означава позитивно усмерен угао, од (почетног) крака [latex]Oa[/latex] до крака [latex]Ob[/latex].

Постављањем центра угломера у било коју изабрану тачку
[latex]O[/latex] успостављамо бијекцију између полуправих са почетком
[latex]O[/latex] и реалних бројева из интервала [latex]\lbrack0,360)[/latex]:
• свакој полуправој [latex]Op[/latex] придружује се јединствени реалан број [latex]\omega _p[/latex] из [latex]\lbrack0,360)[/latex], и
• сваки реалан број из [latex]\lbrack0,360)[/latex] придружен је јединственој полуправој са почетком [latex]O[/latex].

 Нека је [latex]x\, (mod360)[/latex] најмањи ненегативан број облика [latex]x+k\cdot360,\, k\in\Z[/latex]. Очигледно, за сваки реалан број [latex]x[/latex], вредност [latex]x\, (mod360)[/latex] припада интервалу [latex]\lbrack0,360)[/latex]. На пример, [latex]120\, (mod360)=120,795\, (mod360)=75\, (75=795+(–2)\cdot360)[/latex],
[latex]–167\, (mod360)=193\, (193=–167+1\cdot360)[/latex] итд.

Како год да поставимо центар угломера у [latex]O[/latex], и самим тим полуправама [latex]Oa\; и\; Ob[/latex] доделимо редом бројеве [latex]\omega _a[/latex] и [latex]\omega _b[/latex], вредност ([latex]\omega _b–\omega _a[/latex]) (mod 360) је увек иста. Ову сталну вредност називамо величином или мером угла [latex]aOb[/latex].

Пример 2.

Према слици датој на претходној страни, полуправама [latex]Oa,Ob,Oc,Od[/latex] редом су придружени бројеви [latex]\omega _a=54,\omega _b=117,\omega _c=180,\omega _d=224[/latex]. Тада је:
мера угла [latex]aOb[/latex] једнака [latex](117–54)\, (mod360)=63[/latex],
мера угла [latex]cOd[/latex] једнака [latex](224–180)\, (mod360)=64[/latex],
мера угла [latex]aOd[/latex] једнака [latex](224–54)\, (mod360)=170[/latex],
мера угла [latex]dOa[/latex] једнака [latex](54–224)\, (mod360)=190[/latex] итд.

 Нека ([latex]m\sphericalangle xOy[/latex]) означава меру угла [latex]xOy[/latex]. Тада:

1. [latex]\sphericalangle aOb \cong[/latex][latex]\sphericalangle cOd[/latex] акко ([latex]m\sphericalangle aOb=[/latex])  ([latex]m\sphericalangle cOd[/latex]);
2. [latex]\sphericalangle aOb <[/latex][latex]\sphericalangle cOd[/latex] акко ([latex]m\sphericalangle aOb< m[/latex])([latex]\sphericalangle cOd[/latex]);
3. [latex]\sphericalangle aOb +[/latex] [latex]\sphericalangle bOc =[/latex][latex]\sphericalangle aOc[/latex] акко ([latex]m\sphericalangle aOb[/latex]) + ([latex]m\sphericalangle bOc=[/latex])  ([latex]v\sphericalangle aOc[/latex]).

 

Мерење дужи и углова

      Б      

Реч геометрија је грчког порекла и дословно преведена значи „мерење земље”, што указује на то да су мерења у природи створила ову област математике и значајно на њу утицала. Још од древних времена, као посебно важна врста мерења издваја се мерење дужине дужи, које је одиграло велику улогу у развоју геометрије и математике уопште. Наиме, мерење дужине дужи је значајно утицало и на проучавање бројева, будући да бројевима изражавамо резултате мерења. О томе је већ било речи у поглављу Реални бројеви, где смо истакли да се реални бројеви уводе да би се могла изразити дужина сваке дужи.

Мерењем се дужима додељују бројеви који описују однос дужи са унапред изабраном и фиксираном дужи. Унапред изабрана дуж се назива јединица мере. Поступак мерења се заснива на надовезивању подударних дужи. Међутим, надовезивањем дужи које су подударне јединици мере можемо да измеримо само целобројне дужине.

Остаће велики број дужи чије ћемо дужине моћи само да проценимо. Посебно је важно истаћи да се приближна целобројна вредност дужине може добити за сваку дуж јер се коначним бројем преношења задате дужи може „стићи и престићи” свака тачка. Дајемо и прецизнију формулацију овог објашњења, која је позната као Архимедова аксиома.

 

Архимедова аксиома

Нека је [latex]IJ[/latex] произвољна дуж. Тада за сваку дуж [latex]AB[/latex] на полуправој чији је почетак тачка [latex]A[/latex] и која садржи [latex]B[/latex] постоји коначно много тачака [latex]A_1,A_2,A_3,...,A_n[/latex] таквих да је [latex]A–A_1–A_2–...–A_n,AA_1\cong A_1A_2\cong ...\cong A_{n–1}A_n\cong IJ[/latex] и [latex]A–B–A_n[/latex].

 

Да бисмо решили поменуте проблеме, природно је да поделимо јединицу мере на једнаке делове и покушамо да измеримо дужину дужи надовезивањем дужи које су подударне добијеном делу. Будући да је систем који користимо декадни, уобичајено је да се јединица мере дели на десет делова. (Број делова је потпуно неважан; да неким случајем користимо бинарни бројни систем, јединицу мере бисмо делили на два дела.)

Очигледно ни десетим деловима јединице мере нећемо успети да измеримо дужине свих дужи. Следећи корак је употребити стоте делове јединице мере. Наравно, опет ће постојати „немерљиве дужи”.

Да закључимо: ако желимо да измеримо дужине свих дужи, поступак дељења јединице мере не смемо завршити. Ма колико „ситни” били делови на које смо у неком тренутку изделили јединичну дуж, постојаће нека дуж чију дужину нећемо моћи прецизно да измеримо.

Пример 1. Најпознатија дуж чије се мерење не завршава је дијагонала јединичног квадрата. Да се поступак мерења дијагонале не може окончати, не треба да чуди јер смо у поглављу Реални бројеви показали да не постоји рационалан број чији је квадрат једнак [latex]2[/latex]. Поступак којим смо, у примеру [latex]1[/latex]. у лекцији Реални бројеви, одређивали децимале броја[latex]\sqrt{2}[/latex] веома је близак поспупку мерења. Упоредите табелу из поменутог примера и слику десно.

Сумирајмо, на крају, запажања до којих смо дошли анализирајући поступак мерења.
Ако је [latex]AB[/latex] дуж чију дужину одређујемо преношењем јединичне дужи [latex]IJ[/latex] и њених (десетих, стотих, хиљадитих...) делова, наступа један од следећа два случаја:

 

1. поступак се завршава и одредили смо прецизно дужину дужи [latex]AB[/latex] (мерни број је децималан број са коначно много децимала);
2. поступак се не завршава већ у сваком кораку мерења добијамо нове тачке (лево и десно од [latex]B[/latex]), означимо их са [latex]L_1,L_2,L_3,...[/latex] и [latex]D_1,D_2,D_3,...[/latex] такве да је [latex]L_1–B–D_1,L_2–B–D_2,L_3–B–D_3,...[/latex] У овом случају је и [latex]AL_1<AB<AD_1,AL_2<AB<AD_2[/latex] итд.

Поред Архимедове аксиоме, уводи се још једна аксиома, коју нећемо наводити, а која се односи на „успешност” поступка мерења и у другом случају. Издвајамо само најважније последице те аксиоме.

• Једина заједничка тачка свих дужи [latex]L_1D_1,L_2D_2,L_3D_3,...[/latex] (које добијамо током мерења) јесте тачка [latex]B[/latex]. Грубо речено, ако замислимо да смо спровели бесконачно много корака, онда је [latex]B[/latex] једина тачка која је „обухваћена” наведеним дужима.

• Парови рационалних бројева [latex]|AL_1|\space и\space |AD_1|,|AL_2|\space и\space |AD_2|,|AL_3|\space и\space |AD_3|,...[/latex] све се мање разликују, то јест разлике ових парова су све ближе нули.

• Бројеви [latex]|AL_1|,|AL_2|,|AL_3|,...\space и\space |AD_1|,|AD_2|,|AD_3|,...[/latex] све су ближи јединственом реалном броју (који узимамо за дужину дужи [latex]AB[/latex]).

     А     

Мерење дужи

Са мерењем дужине дужи упознајемо се на самом почетку школовања, користећи притом лењир са подеоцима означеним у складу са изабраном јединицом мере. Овом приликом ћемо мерење лењиром искористити да истакнемо основну теорему у вези са мерењем дужине.

Лењир са подеоцима одговара цртежу бројевне полуправе на папиру, при чему цртеж бројевне полуправе посматрамо као графички приказ скупа реалних бројева. Сходно томе, лењир са подеоцима сматрамо моделом скупа [latex]\R [/latex]. Постављање ивице лењира са подеоцима дуж неке праве можемо посматрати као успостављање бијекције између тачака те праве и реалних бројева:

• свакој тачки [latex]A[/latex] праве придружује се јединствени реалан број [latex]x_А[/latex], и

• сваки реалан број придружен је јединственој тачки праве.

За било које две различите тачке [latex]A[/latex] и [latex]B[/latex] важи следеће важно својство. Како год да поставимо лењир са подеоцима дуж праве [latex]AB[/latex] (и тиме тачкама [latex]A[/latex] и [latex]B[/latex] доделимо редом бројеве [latex]x_А[/latex] и [latex]x_B[/latex]), вредност [latex]|x_A–x_B|[/latex] је увек иста. Ову сталну вредност називамо дужином дужи [latex]AB[/latex] или (еуклидским) растојањем између тачака [latex]A[/latex] и [latex]B[/latex] и обележавамо је [latex]|AB|[/latex]. На слици лево уочавамо:

 

[latex]|AB|=|x_A-x_B|=|5,9-3,5|=|6,4-4|=|-1-(-3,4)|=2,4[/latex].

Корисно је имати на уму да се приликом постављања лењира дуж неке праве [latex]p[/latex] одређују тачке [latex]O[/latex] и [latex]J[/latex], такве да је [latex]OJ[/latex] подударна јединици мере лењира, којима се придружују редом бројеви [latex]0[/latex] и [latex]1[/latex].

Свака дуж [latex]IJ[/latex] изабрана за јединицу мере одређује одговарајући лењир, а самим тим и мерење дужине било које дужи.

 

Oсновнa теоремa у вези са мерењем дужине

Избор било које дужи [latex]IJ[/latex] (за јединицу мере) одређује функцију којом се свакој дужи [latex]XY[/latex] придружује позитиван реалан број [latex]|XY|[/latex], тако да важе следеће особине:

• [latex]|IJ|=1[/latex];

• [latex]AB\cong CD[/latex] акко [latex]|AB|=|CD|[/latex], за било које дужи [latex]AB[/latex] и [latex]CD[/latex];

• [latex]AB<CD[/latex] акко [latex]|AB|<|CD|[/latex], за било које дужи [latex]AB[/latex] и [latex]CD[/latex];

• [latex]A–B–C[/latex] акко [latex]|AB|+|BC|=|AC|[/latex], за било које тачке [latex]A,B[/latex] и [latex]C[/latex];

• [latex]|AC|<|AB|+|BC|[/latex], за било које три неколинеарне тачке [latex]A,B[/latex] и [latex]C[/latex].

 

Број [latex]|XY|[/latex] називамо и мерним бројем дужине дужи [latex]XY[/latex] за изабрану јединицу мере. Уобичајено је да се ознака дужи користи и за означавање дужине те дужи. На пример, ако је за неку изабрану јединицу мере мерни број дужине дужи [latex]XY[/latex] једнак [latex]2,5[/latex], уместо [latex]|XY|=2,5[/latex] краће пишемо [latex]XY=2,5[/latex].

Нека је [latex]A[/latex] тачка која не припада правој [latex]p[/latex] и [latex]N[/latex] подножје нормале из [latex]A[/latex] на [latex]p[/latex]. Растојање између тачке [latex]A[/latex] и праве [latex]p[/latex] јесте дужина дужи [latex]AN[/latex]. Будући да је хипотенуза најдужа страница правоуглог троугла, једноставно закључујемо да је тачка [latex]N[/latex] заправо тачка праве [latex]p[/latex] која је најближа тачки [latex]A[/latex]. Другим речима, за било коју другу тачку [latex]P[/latex] праве [latex]p[/latex] важи [latex]AN<AP[/latex].

 

Ако су праве [latex]p[/latex] и [latex]q[/latex] паралелне, тада су све тачке једне праве једнако удаљене од друге праве. (Зашто?) Под растојањем између две паралелне праве подразумева се растојање између било које тачке једне праве од друге праве.

Од давнина се за мерење углова као јединица мере користи степен, тј. угао који је [latex]180[/latex] пута мањи од опруженог угла (односно [latex]90[/latex] пута мањи од правог угла). Најважније идеје у вези са мерењем углова објаснићемо ослањајући се на познати мерни инструмент – угломер. Иако је угломер најчешће у облику полукруга, објашњења су једноставнија за кружне угломере (слика доле). Подразумева се да су на ободу кружног угломера подеоцима означени углови од једног степена. Да бисмо додатно поједноставили објашњења, претпоставићемо да су углови усмерени у позитивном смеру (тј. супротно кретању казаљке на сату). Дакле, [latex]aOb[/latex] означава позитивно усмерен угао, од (почетног) крака [latex]Oa[/latex] до крака [latex]Ob[/latex].

Постављањем центра угломера у било коју изабрану тачку
[latex]O[/latex] успостављамо бијекцију између полуправих са почетком
[latex]O[/latex] и реалних бројева из интервала [latex]\lbrack0,360)[/latex]:
• свакој полуправој [latex]Op[/latex] придружује се јединствени реалан број [latex]\omega _p[/latex] из [latex]\lbrack0,360)[/latex], и
• сваки реалан број из [latex]\lbrack0,360)[/latex] придружен је јединственој полуправој са почетком [latex]O[/latex].

 

Нека је [latex]x\, (\operatorname{mod}360)[/latex] најмањи ненегативан број облика [latex]x+k\cdot360,\, k\in\Z[/latex]. Очигледно, за сваки реалан број [latex]x[/latex], вредност [latex]x\, (\operatorname{mod}360)[/latex] припада интервалу [latex]\lbrack0,360)[/latex]. На пример, [latex]120\, (\operatorname{mod}360)=120,795\, (\operatorname{mod}360)=75\, (75=795+(–2)\cdot360)[/latex],
[latex]-167\, (\operatorname{mod}360)=193\, (193=-167+1\cdot360)[/latex] итд.

Издвајамо најважније запажање. Како год да поставимо центар угломера у [latex]O[/latex], и самим тим полуправама [latex]Oa[/latex] и [latex]Ob[/latex] доделимо редом бројеве [latex]\omega _a[/latex] и [latex]\omega _b[/latex], вредност [latex](\omega _b-\omega _a) (\operatorname{mod} 360)[/latex] је увек иста. Ову сталну вредност називамо величином или мером угла [latex]aOb[/latex].

Пример 2. Према слици изнад, полуправама [latex]Oa,Ob,Oc,Od[/latex] редом су придружени бројеви [latex]\omega _a=54,\omega _b=117,\omega _c=180,\omega _d=244[/latex]. Тада је:
мера угла [latex]aOb[/latex] једнака [latex](117-54)\, (\operatorname{mod}360)=63[/latex],
мера угла [latex]cOd[/latex] једнака [latex](244-180)\, (\operatorname{mod}360)=64[/latex],
мера угла [latex]aOd[/latex] једнака [latex](244-54)\, (\operatorname{mod}360)=170[/latex],
мера угла [latex]dOa[/latex] једнака [latex](54-244)\, (\operatorname{mod}360)=190[/latex] итд.

 

теорема

Нека [latex](m\sphericalangle xOy)[/latex] означава меру угла [latex]xOy[/latex]. Тада:
1. [latex]\sphericalangle aOb \cong \sphericalangle cOd[/latex] акко [latex]m(\sphericalangle aOb)=m(\sphericalangle cOd)[/latex];
2. [latex]\sphericalangle aOb <\sphericalangle cOd[/latex] акко [latex]m(\sphericalangle aOb)< m(\sphericalangle cOd)[/latex];
3. [latex]\sphericalangle aOb + \sphericalangle bOc =\sphericalangle aOc[/latex] акко [latex]m(\sphericalangle aOb) + m(\sphericalangle bOc)= m(\sphericalangle aOc)[/latex].

 

Уобичајено је да се угао и његова мера означавају на исти начин и да једнакост [latex]\sphericalangle p_1O_1q_1=\sphericalangle p_2O_2q_2[/latex] значи да су мере углова [latex]p_1O_1q_1[/latex] и [latex]p_2O_2q_2[/latex] једнаке. Ослањајући се на овај договор, имамо следећу еквиваленцију

[latex]\sphericalangle p_1O_1q_1=\sphericalangle p_2O_2q_2\Leftrightarrow \sphericalangle p_1O_1q_1\cong \sphericalangle p_2O_2q_2[/latex].

 

Како одредити меру угла помоћу шестара?

Величину датог (нацртаног) угла можемо приближно одредити помоћу шестара. На пример, нека је дат угао [latex]aOb[/latex]. Произвољним отвором шестара конструишемо кружницу са центром у тачки [latex]O[/latex]. Нека су [latex]A[/latex] и [latex]B[/latex] тачке у којима краци [latex]Oa[/latex] и [latex]Ob[/latex] секу ову кружницу. Сада почев од тачке [latex]A[/latex] преносимо тетиву [latex]AB[/latex] све док врх игле шестара не дође поново у тачку [latex]A[/latex] или јој не буде веома близу (тада прекидамо поступак не конструишући одговарајућу тачку). Током конструкције бројимо колико смо пута обишли круг и колико смо пута пренели тетиву.

 

Ако смо круг обишли [latex]n[/latex] пута и за то време [latex]m[/latex] пута пренели тетиву [latex]AB[/latex], онда је мера траженог угла приближно једнака

[latex]\sphericalangle aOb\approx \frac{360\degree \cdot n}{m}[/latex].

Ову формулу једноставно изводимо из „једнакости” [latex]m\cdot \sphericalangle aOb\approx 360\degree \cdot n[/latex], која је очигледно тачна, јер смо преношењем тетиве дати угао увећали [latex]m[/latex] пута и при том смо круг обишли [latex]n[/latex] пута, што значи да је мера одговарајућег угла [latex]360\degree\cdot n[/latex].