Паралелност

А

Паралелност је однос између две равни, праве и равни, и две праве.

дефиниција

Равни су паралелне уколико немају заједничких тачака. Права и раван су паралелне уколико немају ниједну заједничку тачку. Ако две праве у простору немају заједничких тачака, онда су оне

паралелне уколико постоји раван којој обе припадају,
мимоилазне уколико не постоји раван којој обе припадају.

Ослањајући се на интуицију, знамо да за неку тачку [latex]A[/latex] ван праве [latex]p[/latex] постоји бесконачно много правих које садрже [latex]A[/latex] и секу [latex]p[/latex]. Такође, постоји бесконачно много правих које садрже [latex]A[/latex] и мимоилазне су са [latex]p[/latex]. Колико има правих које садрже [latex]A[/latex] и паралелне су са [latex]p[/latex]?

аксиома паралелности

За сваку праву [latex]p[/latex] и тачку [latex]A[/latex] која јој не припада постоји јединствена права [latex]q[/latex] која је садржи и паралелна је са правом [latex]p[/latex].

Ако [latex]A\notin p[/latex], није тешко закључити да права која садржи [latex]A[/latex] и паралелна је са [latex]p[/latex] припада равни [latex]\alpha[/latex] коју одређују [latex]A[/latex] и [latex]p[/latex].

Све друге праве равни [latex]\alpha[/latex] које садрже [latex]A[/latex] секу праву [latex]p[/latex]. Све друге праве које нису у равни [latex]\alpha[/latex] и садрже тачку[latex]A[/latex] мимоилазне су са [latex]p[/latex].

теорема о симетричности и транзитивности паралелности

Нека су [latex]p,q[/latex] и [latex]r[/latex] различите праве. Ако је [latex]p||q[/latex], онда је и [latex]q||p[/latex].
Ако је [latex]p||q[/latex] и [latex]q||r[/latex], онда је и [latex]p||r[/latex].

Нека су [latex]\alpha,\beta[/latex] и [latex]\gamma[/latex] различите равни. Ако је [latex]\alpha||\beta[/latex], онда је и [latex]\beta||\alpha[/latex].
Ако је [latex]\alpha||\beta[/latex] и [latex]\beta||\gamma[/latex], онда је [latex]\alpha\Vert\gamma[/latex].

Релација паралелности међу правама је:

симетрична (јер из [latex]p\, ||\, q[/latex] следи [latex]q\, ||\, p[/latex] ако су [latex]p[/latex] и [latex]q[/latex] различите праве), и
транзитивна (из [latex]p\, ||\, q[/latex] и [latex]q\, ||\, r[/latex] следи [latex]p\, ||\, r[/latex] ако су [latex]p,q[/latex] и [latex]r[/latex] различите праве).

Ипак, није релација еквиваленције јер није рефлексивна. Да би се надоместио овај недостатак, дефиниција паралелности правих често се модификује и додаје се „свака права је паралелна са самом собом”, то јест за сваку праву [latex]a[/latex] важи [latex]a\, ||\, a[/latex].

Аналогно се проширује дефиниција паралелности између праве и равни додатком:

свака права која припада некој равни паралелна је тој равни, односно између две равни додатком:
свака раван је паралелна са самом собом.

Б

Последице аксиоме паралелности

теорема

Нека су [latex]a,b[/latex] и [latex]t[/latex] три међусобно различите праве једне равни.
Ако је [latex]a\, ||\, b[/latex] и [latex]t[/latex] сече праву [latex]a[/latex], онда [latex]t[/latex] сече и праву [latex]b[/latex].

Доказ.
Претпоставке:
праве [latex]a,b[/latex] и [latex]t[/latex] припадају истој равни;
[latex]a\, ||\, b[/latex] и [latex]t[/latex] сече праву [latex]a[/latex].
Нека је [latex]t\cap a=\{A\}[/latex].

Треба доказати: [latex]t[/latex] сече праву [latex]b[/latex].

Приметимо најпре да [latex]A\notin b[/latex] , јер праве [latex]a[/latex] и [latex]b[/latex] немају заједничких тачака. Према теореми коју смо претходно доказали (и поновили је на слици поред) праве [latex]t[/latex] и [latex]b[/latex] се секу или су паралелне.
Ако би било [latex]t\, ||\, b[/latex], онда би праве [latex]a[/latex] и [latex]t[/latex] биле две различите праве које садрже тачку [latex]A\; (A\notin b)[/latex] и које су паралелне са [latex]b[/latex], што није могуће према аксиоми паралелности.
Дакле, праве [latex]t[/latex] и [latex]b[/latex] се секу.

теорема

Нека су [latex]a,b[/latex] и [latex]c[/latex] три међусобно различите праве једне равни. Ако је [latex]a\, ||\, b[/latex] и [latex]b\, ||\, c[/latex], онда је

[latex]a\, ||\, c[/latex].

Доказ.
Претпоставке:
праве [latex]a,b[/latex] и [latex]c[/latex] су три међусобно различите праве једне равни;
[latex]a\,||\,b[/latex] и [latex]b\,||\,c[/latex].

Треба доказати: [latex]a\,||\,c[/latex].

Позивајући се на исту теорему као у доказу претходне теореме, закључујемо да се праве [latex]a[/latex] и [latex]c[/latex] секу или су паралелне.

Праве [latex]a[/latex] и [latex]c[/latex] не могу да се секу, јер би то било у супротности са аксиомом паралелности. Наиме, ако би било [latex]a\cap c=\{P\}[/latex], најпре бисмо имали да [latex]P\notin b[/latex] (Зашто?) и постојале би две различите праве које садрже [latex]P\,(P\in a,P\in c)[/latex] и које су паралелне са [latex]b\,(a\,||\,b,b\,||\,c)[/latex].

Дакле, [latex]a\,||\,c[/latex].

Теорема (лекција Тачке, праве и равни. Односи припадања).

За сваке две различите праве које се секу постоји јединствена раван која их садржи.