Тачке, праве и равни. Односи припадања
А
Простор замишљамо као скуп. Његове елементе називамо тачкама. Основне врсте подскупова (делова) простора су праве и равни. Наравно, и праве и равни су скупови тачака.
Тачке, праве и равни називамо основним геометријским објектима.
Тачке означавамо великим словима латинице са или без индекса [latex]A,B,C,D,[/latex] ...,[latex]A_1,B_1,[/latex] ...,[latex]A_2,B_2,[/latex] ...
Праве означавамо малим словима латинице [latex]a,b,c,d,[/latex] ...,[latex]a_1,b_1,[/latex] ..., а равни малим грчким словима [latex]\alpha,\beta,\gamma,\delta,[/latex] ...
Будући да су и праве и равни скупови, основне концепте теорије скупова преносимо и у геометрију. Тако, на слици уочавамо да важе следеће формуле:
[latex]A\in b[/latex],
[latex]A\in\alpha[/latex],
[latex]c\subset\gamma[/latex],
[latex]a\cap\gamma=\{T\}[/latex],
[latex]\alpha\cap\gamma=p[/latex],
[latex]S\notin\beta[/latex],
[latex]b\not\subset\alpha[/latex],
...
Постоје и неке специфичности када је реч о скуповима у геометрији. На пример, за праву [latex]c[/latex] која је подскуп равни [latex]\gamma,\, c\subset\gamma[/latex], кажемо да припада равни, иако је, строго говорећи, употреба речи „припада” у овом случају погрешна. Такође, каже се и да [latex]\gamma[/latex] садржи [latex]c[/latex], као и да права [latex]c[/latex] лежи у равни [latex]\gamma[/latex].
Нису праве и равни једини подскупови простора. На слици су приказани неки подскупови који нису ни праве ни равни.
Како из мноштва подскупова простора прецизно описати праве и равни? Покушајте речима да опишете по чему се разликују праве и равни од приказаних подскупова и видећете да то није једноставно, и поред тога што нам се чини да имамо јасну представу о томе какав скуп тачака је права, a какав скуп тачака је раван.
У наставку ћемо строго прецизирати особине основних геометријских објеката на које ћемо се даље ослањати. Те особине називамо аксиомама – полазним претпоставкама. Пре него што почнемо навођење аксиома, истичемо да се аксиоме углавном не односе само на једну врсту објекта независно од осталих, већ на њихове међусобне односе. На тај начин се поред основних објеката разматрају и основни односи међу њима.
Пошто простор замишљамо као скуп, природно је да „бити елемент”, а тиме и „бити подскуп”, спадају у основне односе међу уведеним основним објектима. Навешћемо шест аксиома које се односе на припадање.
Прва аксиома (полазна претпоставка) подржава уверење да свака права садржи бесконачно много тачака, али јој и не припада бесконачно много тачака. Друга то исто тврди за било коју раван.
аксиома (П)
На свакој правој можемо изабрати произвољно много међусобно различитих тачака. За сваку праву можемо изабрати произвољно много тачака које јој не припадају.
аксиома (P)
У свакој равни можемо изабрати произвољно много међусобно различитих тачака. Такође, за сваку раван можемо изабрати произвољно много тачака које јој не припадају.
На наредним странама систематизоване су основне дефиниције и преостале аксиоме које се односе на припадање.
Тачке и праве
аксиома (TП)
За сваке две различите тачке постоји тачно једна права која их садржи.
За три и више тачака каже се да су:
• колинеарне, ако припадају једној правој, односно
• неколинеарне, ако не постоји права која их садржи.
Праву одређену тачкама [latex]A[/latex] и [latex]B[/latex] означавамо [latex]p(A,B)[/latex].
Тачке и равни
аксиома (TP)
Три неколинеарне тачке одређују тачно једну раван.
За четири и више тачака кажемо да су:
• компланарне, ако припадају једној равни, односно
• некомпланарне, ако не постоји раван која их садржи.
Раван одређену неколинеарним тачкама [latex]A,B,C[/latex] означавамо [latex]\rho(A,B,C)[/latex].
Праве и равни
аксиома (ПР)
Ако права и раван имају више од једне заједничке тачке, тада се права налази у тој равни.
Ако права и раван имају једну заједничку тачку, кажемо да права продире раван.
Ако права и раван немају заједничких тачака, кажемо да су паралелне.
Две равни
Ако две равни немају заједничких тачака, онда кажемо да су те две равни паралелне.
аксиома (РР)
Ако две различите равни имају заједничких тачака, онда је пресек те две равни права.
Две праве
Ако две праве немају заједничких тачака и припадају истој равни, кажемо да су паралелне.
Ако две праве немају заједничких тачака и не припадају истој равни, кажемо да су мимоилазне.
теорема (последица ТП)
Две различите праве могу имати највише једну заједничку тачку.
Одређеност равни
три важне теореме
Права и тачка која јој не припада одређују тачно једну раван.
Две различите праве које се секу одређују тачно једну раван.
Две паралелне праве одређују тачно једну раван.
Приметите да смо аксиоме именовали почетним словима објеката о којима говоре.
Поред аксиома, навели смо и дефиниције неколико важних појмова (истакнутих масним словима).
Б
Последице аксиома припадања
Наслов наставка могао би да буде и геометрија и логика, зато што је логичко закључивање, то јест доказивање, једино исправно утврђивање својстава геометријских објеката.
Докажимо најпре наведене теореме .
теорема
Две различите праве или немају заједничких тачака или имају само једну заједничку тачку.
Доказ. Ако преформулишемо теорему, биће јасније зашто је она тачна. Наиме, теорема тврди да две различите праве не могу имати две различите заједничке тачке.
Заиста, ако претпоставимо супротно од онога што теорема тврди, то јест да неке две различите праве [latex]a[/latex] и [latex]b[/latex] имају две заједничке тачке, рецимо [latex]P[/latex] и [latex]Q[/latex], при чему је [latex]P\ne Q[/latex], према аксиоми (ТП) закључујемо да је [latex]a=b[/latex], што је супротно претпоставци да су праве различите.
теорема
Ако тачка [latex]A[/latex] не припада правој [latex]a[/latex], онда постоји јединствена раван која садржи тачку [latex]A[/latex] и праву [latex]a[/latex].
Идеја доказа. Приметимо најпре да је теорема формулисана у облику импликације „ако ~~~, онда – – – ”. Дакле, под претпоставком да тачка [latex]A[/latex] не припада правој [latex]a[/latex], треба доказати:
[latex]1)[/latex] да постоји раван која садржи тачку [latex]A[/latex] и праву [latex]a[/latex], као и
[latex]2)[/latex] да је таква раван јединствена, то јест да не постоје две равни са овом особином.
Како доказати тврдњу под [latex]1)[/latex]?
Позваћемо се на аксиому (ТР) јер је то једина аксиома која тврди да постоји некаква раван под одговарајућим претпоставкама. Да бисмо ову аксиому искористили, неопходно је одредити три неколинеарне тачке које ће нам дефинисати жељену раван. Једну тачку имамо – то је тачка [latex]A[/latex]. Друге две ћемо произвољно изабрати са праве [latex]a[/latex].
Како доказати тврдњу под [latex]2)[/latex]? Претпоставићемо да постоји још једна раван која задовољава полазне претпоставке.
Доказ. Нека је дата тачка [latex]A[/latex] и права [latex]a[/latex] која не садржи [latex]A[/latex].
[latex]1)[/latex] Докажимо најпре да постоји раван која садржи тачку [latex]A[/latex] и праву [latex]a[/latex].
Према аксиоми (П), на правој a бирамо две различите тачке [latex]P[/latex] и [latex]Q[/latex]. Тада су тачке [latex]A,P[/latex] и [latex]Q[/latex] неколинеарне јер [latex]A\notin a[/latex]. Према аксиоми (ТР), ове три тачке одређују јединствену раван. Означимо ову раван са [latex]\alpha[/latex]. Очигледно, [latex]A\in\alpha[/latex]. Такође, [latex]a\subset\alpha[/latex], јер [latex]\alpha[/latex] садржи [latex]P[/latex] и [latex]Q[/latex], то јест две различите тачке праве [latex]a[/latex], па према аксиоми (ПР) [latex]\alpha[/latex] садржи и праву [latex]a[/latex]. Дакле, постоји раван која садржи тачку [latex]A[/latex] и праву [latex]a[/latex].
[latex]2)[/latex] Претпоставимо да је и [latex]\beta[/latex] раван која садржи тачку [latex]A[/latex] и праву [latex]a[/latex]. Из [latex]a\subset\beta[/latex] закључујемо да [latex]\beta[/latex] садржи све тачке праве [latex]a[/latex], па специјално и тачке [latex]P[/latex] и [latex]Q[/latex]. Како је и [latex]A\in\beta[/latex], следи да је [latex]\beta[/latex] раван која садржи неколинеарне тачке [latex]A,P[/latex] и [latex]Q[/latex]. Позивањем на аксиому (ТР) закључујемо да је [latex]\alpha=\beta[/latex].
